Archive for the ‘topo’ Category

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Mannigfaltigkeit (manifold)

May 13, 2009

Definition:
Der n-dimensionale euklidische Raum \mathbb R^n mit der Standardskalarprodukt \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \cdots + u_n v_n ist ein Hilbertraum.
 
Definition:

Ein topologischer Raum X heißt n-dimensional lokal euklidisch, wenn jeder Punkt x\in X eine offene Umgebung U besitzt, die zu einer offenen Teilmenge V des euklidischen Raumes \mathbb R^n homöomorph ist.

lokal euklBeispiele:

Die Sphäre \mathbb S^n ist lokal euklidisch mit Dimension n.
b) Der projektive Raum P_n ist lokal euklidisch mit Dimension n.
c) Sind X und Y lokal euklidisch mit Dimension n bzw. m, dann ist X\times Y lokal
euklidisch (mit welcher Dimension?).

a) Die Sphäre \mathbb S^n ist lokal euklidisch mit Dimension n.

b) Der projektive Raum P_n ist lokal euklidisch mit Dimension n.

c) Sind X und Y lokal euklidisch mit Dimension n bzw. m, dann ist X\times Y lokal euklidisch (mit welcher Dimension?).

 

Definition:

Ein Homöomorphismus h:U\to V heißt Karte oder lokales Koordinatensystem von X um x mit Kartengebiet U. 

Definition:

Die Umkehrung h^{-1}:V\to U wird lokale Parametrisierung von X um x genannt.

Definition:

Ist h(x)=0, so sagt man, h und h^{-1} seien in x zentriert.

Definition:
Basis einer Topologie
Ein System B von Teilmengen eines topologischen Raumes X heißt Basis der Topologie, wenn
a) jede Menge aus B offen ist und
b) jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.

Definition:
Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis, der n-dimensional lokal euklidisch ist.

Eigenschaften:

lokal wegzusammenhängend,

lokal kompakt,

lokal metrisierbar.

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Stetigkeit

December 29, 2007

Kategorientheorie: Objekte, Morphismus:

Lineare Algebra: Vektorräume, lineare Abbildungen

Gruppentheorie: Gruppen, Homomorphismen

Mengenlehre: Mengen, Abbildungen

Topologie: topologische Räume, stetige Abbildungen


Lemma: Let f be a function mapping \mathbb{R} into itself. Then f is coninuous if and only if for each a\in\mathbb{R} and each open set U containing f(a), there exists an open set V containing a such that f(V)\subset U.f\in C^0(\mathbb{R})

\Leftrightarrow \forall a\in\mathbb{R},(f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon),\varepsilon >0\

\exists \delta >0: \forall x\in(a-\delta,a+\delta):f(x)\in (f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)

\Leftrightarrow \forall a\in\mathbb{R},f(a)\in U, U\text{ offen }\exists V\text{ offen }, a\in V: f(V)\subset U

proof:

\boxed{\Rightarrow}

a\in\mathbb{R},f(a)\in U, U\text{ offen}\Rightarrow \exists c,d\in \mathbb{R}: f(a)\in (c,d)\subset U.

\varepsilon:= \min\{d-f(a),f(a)-c\}\Rightarrow (f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)\subset U

\xrightarrow{f\in C^0(\mathbb{R})}\exists \delta >0: \forall x\in(a-\delta,a+\delta):f(x)\in (f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)

\boxed{\Leftarrow}

\forall a\in\mathbb{R}, f(a)\in U, U\text{ offen }\exists V\text{ offen }, a\in V: f(V)\subset U

a\in\mathbb{R},\varepsilon\in\mathbb{R}^{+}, U:=(f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)\Rightarrow f(a)\in U \text{ offen}.

\Rightarrow \exists V\text{ offen}, a\in V: f(V)\subset U

a\in V\text{ offen}\Rightarrow\exists c,d\in\mathbb{R}: a\in(c,d)\subset V.

\delta:=\min\{d-a,a-c\}: (a-\delta, a+\delta)\subset V

\Rightarrow\forall x\in (a-\delta, a+\delta):f(x)\in f(V)\subset U\Rightarrow f\in C^0(\mathbb{R})

\Box

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Kompaktheit

December 23, 2007

Definition

\mathcal{A}\subset\mathcal{P}(X) covers / überdeckt Y:\Leftrightarrow\displaystyle\bigcup_{\alpha\in\mathcal{A}}\alpha = Y:\Leftrightarrow\text{Cov}(\mathcal{A},Y)

(\mathcal X,\sigma) kompakt

:\Leftrightarrow

jede offene Überdeckung (\mathcal {U}_i)_{i\in\mathbb{N}},\mathcal {U}_i\in\sigma von \mathcal X besitzt eine endliche Teilüberdeckung (\mathcal{U}_{i_j})_{i_j \in\mathbb{N}}

\Leftrightarrow

\displaystyle\forall (\mathcal {U}_i)_{i\in\mathbb{N}},\mathcal {U}_i\in\sigma, \text{Cov}(\mathcal {U}_i,Y):\exists \{\mathcal{U}_{i_j}\}_{j =1}^{n\in\mathbb{N}}:\text{Cov}(\mathcal{U}_{i_j},Y)

\Leftrightarrow

\displaystyle\forall \{A_i\}_{i\in J}, X\setminus A_i\in\sigma: \bigcap_{i\in J}A_i\neq\emptyset

Heine-Borel:

If X is a closed and bounded subset of the real line R, then any class of open subsets of R whose union contains X has a finite subclass whose union also contains X.

\Leftrightarrow

Beispiel:

\displaystyle M=\{1,\frac12,\frac13,\frac14,...,0\} ist kompakt, denn jede offene Menge, die die 0 enthält, enhält auch fast alle Zahlen der Form \frac1n.

M\setminus \{0\} ist nicht kompakt, denn wird jede Zahl \frac1n durch eine eigene Umgebung überdeckt, so sind es unendlich viele Umgebungen.

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James Dugundji – Topology

September 19, 2007

Euclidean line.
\boxed{E^1}:

  • [a,b] :=\{x\in E^1 :a\leq x\leq b\}
  • ]a,b[:=\{x\in E^1 :a<x<b\}
  • ]a,b]:=\{x\in E^1 :a< x\leq b\}
  • [a,b[ :=\{x\in E^1 :a\leq x< b\}

Euclidean n-space.
\boxed{E^n}

  • x=(x_1,...,x_n)\in E^n, y=(y_1,...,y_n)\in E^n
  • \Rightarrow x+y=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)
  • \lambda x=(\lambda x_1,...,\lambda x_n)\forall \lambda\in\mathbb{R}
  • |x|=\sqrt{\sum_1^n x_i^2}

n-cube
\boxed{I^n}

  • I^n=\{(x_1,...,x_n)\in E^n:0\leq x_i\leq 1, i=1,..,n\}

\boxed{S^n}

  • unit n-sphere in E^{n+1}=\{x\in E^{n+1}:|x|=1\}

\boxed{V^n}

  • unit n-ball in E^n=\{x\in E^n: |x|\leq 1\}

\bigcup,\bigcap
distribute over
\times

  • \displaystyle\boxed{\bigcup \left\{ {A_\alpha :\alpha \in \mathcal{A}} \right\} \times \bigcup \left\{ {B_\beta :\beta \in \mathcal{B}} \right\} = \bigcup \left\{ {A_\alpha \times B_\beta <img src='http://s.wordpress.com/wp-includes/images/smilies/icon_sad.gif' alt=':(' class='wp-smiley' /> \alpha ,\beta ) \in \mathcal{A} \times \mathcal{B}} \right\}}
  • \displaystyle\boxed{\bigcap \left\{ {A_\alpha :\alpha \in \mathcal{A}} \right\} \times \bigcap \left\{ {B_\beta :\beta \in \mathcal{B}} \right\} = \bigcap \left\{ {A_\alpha \times B_\beta <img src='http://s.wordpress.com/wp-includes/images/smilies/icon_sad.gif' alt=':(' class='wp-smiley' /> \alpha ,\beta ) \in \mathcal{A} \times \mathcal{B}} \right\} }
\displaystyle f:X \to Y,f^{ - 1} :\mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)

  • \displaystyle \boxed{f^{ - 1} (\bigcup_\alpha {B_\alpha}) = \bigcup_\alpha {f^{ - 1} (B_\alpha )}}
  • \displaystyle \boxed{f^{ - 1} (\bigcap_\alpha {B_\alpha}) = \bigcap_\alpha {f^{ - 1} (B_\alpha } )}
  • \displaystyle \boxed{f^{ - 1} (B_1 - B_2 ) = f^{ - 1} (B_1 ) - f^{ - 1} (B_2 )}

\displaystyle f:X \to Y,f :\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)

  • \displaystyle \boxed{f(\bigcup_\alpha {A_\alpha})=\bigcup_\alpha{f(A_\alpha)}}
  • \displaystyle \boxed{f(\bigcap_\alpha {A_\alpha})\subset\bigcap_\alpha{f(A_\alpha)}}
\displaystyle f:M \to N
\displaystyle \forall U \subseteq {\text{M}}{\text{, V}} \subseteq {\text{M:}}

  • \displaystyle \boxed{f^{-1}(f(U)) \supseteq U}
  • \displaystyle \boxed{f(U \cap V) \subseteq f(U) \cap f(V)}
  • \displaystyle \boxed{f(U \cup V) = f(U) \cup f(V)}
  • \displaystyle \boxed{f(U \setminus V) \supseteq f(U) \setminus f(V)}

\displaystyle \forall U \subseteq {\text{N}}{\text{, V}} \subseteq {\text{N:}}

  • \displaystyle \boxed{f(f^{-1}(U)) \subseteq U}
  • \displaystyle \boxed{f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(U) \cap f^{-1} (V)}
  • \displaystyle \boxed{f^{-1}(U \cup V) = f^{-1}(U) \cup f^{-1} (V)}
  • \displaystyle \boxed{f^{-1} (U \setminus V) = f^{-1} (U) \setminus f^{-1} (V)}

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Counterexamples in Topology

September 15, 2007

In Steen’s Counterexamples in Topology sind 143 topologische Begriffe aufgelistet, manche davon stehen nur da ohne irgendwelche Erläuterung, ich denke, die 143 kann ich weiter ergänzen.

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Mengenlehre

August 13, 2007

§1 Fundamental Concepts

\displaystyle \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \exists\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}

\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \forall\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}

Relation:

\displaystyle R\circ S=\{(x,z): \exists y:[(x,y)\in S \wedge (y,z)\in R]\}

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Topologien endlicher Mengen

July 30, 2007

Um die Topologien endlicher Mengen anzugeben, muss man nur auf die Axiome gucken:

Beispiel für eine dreielementige Menge:

A=\left\{a,b,c\right\},

dann ist \mathcal P(\{ a, b, c \}) = \{ \emptyset, \{ a \}, \{ b \}, \{ c \}, \{ a, b \}, \{ a, c \}, \{ b, c \}, \{ a, b, c \} \}

Nach dem ersten Satz des Axioms sind \emptyset\text{ und } A \in \mathcal T

Jetzt muss man nur noch mithilfe der beiden anderen Sätzen Topologien konstruieren, z.B. dreielementige: zwei von drei sind schon reserviert, es gibt noch zwei Typen von Teilmengen von A, das sind \{a\} und \{a,b\}.

\{\emptyset, A, \{a\}\} und \{\emptyset, A, \{a,b\}\} sind gegen Vereinigung und Durchschnitt abgeschlossen. Deshalb sind sie beide Topologien. so fährt man fort.

Ich habe mich übrigens gefragt, ob die Anzahl der Topologien einer Menge mit n Elementen allgemein bestimmbar ist. (Oder die Anzahl der Topologien bis auf Homöomorphismus)

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