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Archive for the ‘SET’ Category

Cantor’s Theorem

October 8, 2007

Behauptung: $|X| < |2^X|$

Beweis:

$\nexists \varphi: X\xrightarrow{\varphi \text{onto}} 2^X\text{, sei } \phi\in (2^X)^X$

Beweis:

$Y:=\{ x\in X: x\notin \varphi(x)\}\subset X$

Angenommen: $\exists y\in X: \varphi(y)=Y\in 2^X$

$\Rightarrow y\in Y \vee y\notin Y:$

$y\in Y\Rightarrow y\notin \varphi(y)=Y$ Widerspruch.

$y\notin Y=\varphi(y)\Rightarrow y\in Y$ Widerspruch.

$\exists\phi: X\rightarrowtail 2^X$

Beweis: $\forall x\in X: \varphi(x)=\{x\}\in 2^X$

1. $\Rightarrow |X|\neq |2^X|$ ; 2. $\Rightarrow |X|\leq |2^X|$

1. $\wedge$ 2. $\Rightarrow |X|<|2^X|$

$\Box$

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James Dugundji – Topology

September 19, 2007

Euclidean line.
$\boxed{E^1}$ :

[a,b] $:=\{x\in E^1 :a\leq x\leq b\}$
$]a,b[:=\{x\in E^1 :a<x<b\}$
$]a,b]:=\{x\in E^1 :a< x\leq b\}$
[a,b[ $:=\{x\in E^1 :a\leq x< b\}$

Euclidean n-space.
$\boxed{E^n}$

$x=(x_1,...,x_n)\in E^n, y=(y_1,...,y_n)\in E^n$
$\Rightarrow x+y=(x_1+y_1,...,x_n+y_n)$
$\lambda x=(\lambda x_1,...,\lambda x_n)\forall \lambda\in\mathbb{R}$
$|x|=\sqrt{\sum_1^n x_i^2}$

n-cube
$\boxed{I^n}$

$I^n=\{(x_1,...,x_n)\in E^n:0\leq x_i\leq 1, i=1,..,n\}$

$\boxed{S^n}$

unit n-sphere in $E^{n+1}=\{x\in E^{n+1}:|x|=1\}$

$\boxed{V^n}$

unit n-ball in $E^n=\{x\in E^n: |x|\leq 1\}$

$\bigcup,\bigcap$
distribute over
$\times$

$\displaystyle\boxed{\bigcup \left\{ {A_\alpha :\alpha \in \mathcal{A}} \right\} \times \bigcup \left\{ {B_\beta :\beta \in \mathcal{B}} \right\} = \bigcup \left\{ {A_\alpha \times B_\beta <img src='http://s.wordpress.com/wp-includes/images/smilies/icon_sad.gif' alt=':(' class='wp-smiley' /> \alpha ,\beta ) \in \mathcal{A} \times \mathcal{B}} \right\}}$
$\displaystyle\boxed{\bigcap \left\{ {A_\alpha :\alpha \in \mathcal{A}} \right\} \times \bigcap \left\{ {B_\beta :\beta \in \mathcal{B}} \right\} = \bigcap \left\{ {A_\alpha \times B_\beta <img src='http://s.wordpress.com/wp-includes/images/smilies/icon_sad.gif' alt=':(' class='wp-smiley' /> \alpha ,\beta ) \in \mathcal{A} \times \mathcal{B}} \right\} }$

$\displaystyle f:X \to Y,f^{ - 1} :\mathcal{P}(Y) \to \mathcal{P}(X)$

$\displaystyle \boxed{f^{ - 1} (\bigcup_\alpha {B_\alpha}) = \bigcup_\alpha {f^{ - 1} (B_\alpha )}}$
$\displaystyle \boxed{f^{ - 1} (\bigcap_\alpha {B_\alpha}) = \bigcap_\alpha {f^{ - 1} (B_\alpha } )}$
$\displaystyle \boxed{f^{ - 1} (B_1 - B_2 ) = f^{ - 1} (B_1 ) - f^{ - 1} (B_2 )}$

$\displaystyle f:X \to Y,f :\mathcal{P}(X) \to \mathcal{P}(Y)$

$\displaystyle \boxed{f(\bigcup_\alpha {A_\alpha})=\bigcup_\alpha{f(A_\alpha)}}$
$\displaystyle \boxed{f(\bigcap_\alpha {A_\alpha})\subset\bigcap_\alpha{f(A_\alpha)}}$

$\displaystyle f:M \to N$
$\displaystyle \forall U \subseteq {\text{M}}{\text{, V}} \subseteq {\text{M:}}$

$\displaystyle \boxed{f^{-1}(f(U)) \supseteq U}$
$\displaystyle \boxed{f(U \cap V) \subseteq f(U) \cap f(V)}$
$\displaystyle \boxed{f(U \cup V) = f(U) \cup f(V)}$
$\displaystyle \boxed{f(U \setminus V) \supseteq f(U) \setminus f(V)}$

$\displaystyle \forall U \subseteq {\text{N}}{\text{, V}} \subseteq {\text{N:}}$

$\displaystyle \boxed{f(f^{-1}(U)) \subseteq U}$
$\displaystyle \boxed{f^{-1}(U \cap V) = f^{-1}(U) \cap f^{-1} (V)}$
$\displaystyle \boxed{f^{-1}(U \cup V) = f^{-1}(U) \cup f^{-1} (V)}$
$\displaystyle \boxed{f^{-1} (U \setminus V) = f^{-1} (U) \setminus f^{-1} (V)}$

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Aussagenlogik

September 3, 2007

Äquivalenz:

$(a \equiv b)$

$(a \Leftrightarrow b)$

$(a \wedge b) \vee (\neg a \wedge \neg b)$

$(a \vee \neg b) \wedge (\neg a \vee b)$

$(a \Rightarrow b) \wedge (b \Rightarrow a)$

Implikation:

äquivalent zueinander sind:

$a\Rightarrow b$

$\neg b \Rightarrow \neg a$

$\neg a \vee b$

$\neg (a \wedge \neg b)$

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Potenzmenge

September 2, 2007

Definition:

$\mathcal P(X) := \{ U \mid U \subseteq X \}$

Notation:

$\mathfrak p(X),\ 2^X,\ \mathrm{Pot}(X),\ \Pi(X)$

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Mengenlehre

August 13, 2007

§1 Fundamental Concepts

$\displaystyle \bigcup_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \exists\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$

$\displaystyle\bigcap_{\lambda\in\Lambda} A_\lambda := \{x \mid \forall\lambda\in\Lambda: x\in A_\lambda\}$

Relation:

$\displaystyle R\circ S=\{(x,z): \exists y:[(x,y)\in S \wedge (y,z)\in R]\}$

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Wohldefiniertheit

July 16, 2007

Definition:

die Funktion

$f:A\to B$

induziert eine Funktion

$g:A/\sim_1 \to B/\sim_2$

$g([a]_1)=[f(a)]_2$

g ist wohldefiniert $:\Leftrightarrow [x]_1=[y]_1 \Rightarrow [f(x)]_2=[f(y)]_2$

Beispiele:

Definiere

$f: \mathbb{Q} \to \mathbb{Q}$

$f(\frac{a}{b})=\frac{a}{b+1}$

so ist f nicht wohldefiniert, denn für $\mathbb{Q}$ ist $\frac{1}{2}=\frac{2}{4}$ , also $[\frac{1}{2}]_1=[\frac{2}{4}]_1$ , aber

$f(\frac{1}{2})=\frac{1}{2+1}=\frac{1}{3}\neq f(\frac{2}{4})=\frac{2}{5}$

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Es begann mit den Dimensionsformeln in der linearen Algebra, ich fand raus, dass sich die Formeln nicht nur mit diversen Basisergänzung beweisen lassen, sondern auch allgemeiner, eleganter mit den Ergebnissen aus der Algebra.

Die Isomorphiesätzen zum Beispiel, besonders der nullte Isosatz, also der Homomorphiesatz, dass der Quotient $G/ker f \cong im f$ ist, lässt sich anwenden in der Linearen Algebra bei der Dimensionsformel.

Der Beweis des Homomorphiesatzes kannte ich immer nur flüchtig, aber diesmal habe ich ihn ordentlich aufgeschrieben, es ging um drei Dingen:

1. die Wohldefiniertheit

2. die Homomorphismuseigenschaft

3. die Bijektivität

Dabei bereitet mir die Wohldefiniertheit am Meisten Schwierigkeiten. Der Quotient $G/ker f$ ist eine Gruppe aus Linksnebenklassen, das ist wie bei den anschaulichen Restklassenringen. Wenn also eine Nebenklasse repräsentiert wird, so braucht man einen Repräsentanten, nach Definition der Wohldefiniertheit ist die muss folgendes gelten:

$f: A\rightarrow B$ induziert eine Abbildung $g:A/\sim_1\rightarrow B/\sim_2, g([a]_1)=[f(a)]_2$ , dann ist die Abbildung g wohldefiniert, wenn die Implikation gilt:

$[x]_1=[y]_1 \Rightarrow [f(x)]_2=[f(y)]_2$

Schon hier tauchen viele Begriffe auf, bei denen ich denke, dass es eine Verallgemeinerung geben muss. So bin ich wieder auf die Kategorientheorie gelandet. Mein erster Eindruck von ihr ist, dass sie viel mit Abbildung arbeitet, aber das kann eine Täuschung sein, die unterschiedlichen Eigenschaften, die ein Morphismus haben kann, tauchten wirklich überall in der Mathematik auf, wo ich auch bin. Surjektion, Injektion, Bijektion, Mono-, Epi-, Endo-, Auto-, Isomorphismus. Neue Begriffe sind zum Beispiel Retraktion und Coretraktion, alle diese kann man wiederum mit dem Begriff “Dualität” klassifiziert werden. Ich muss mich noch an die Verwendung von Pfeilen gewöhnen, z.B. bei der Definition von Retraktion.

Morgen werde ich alle dieser Begriffe noch mal unter Lupe schauen und die Liste unten mit Definitionen und Beispielen ergänzen.

Und auch die Wohldefiniertheit muss ich noch mal mit Definitionen und Beispielen durch den Kopf gehen lassen.

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