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Integrale September 7, 2007

Filed under: Analysis,Integrale — abi007 @ 7:15 am

$\displaystyle\int_{0}^{1}t^{a}\ dt\;=\;\boxed{\frac{1}{a+1}}$

$\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-ta}\,dt\;=\;\boxed{\frac1a}$

$\displaystyle\int_0^{\infty}\frac1{1+t^a} \;dt\;=\;\boxed{\frac{\pi}a\cdot\text{csc}(\frac{\pi}a)}\;=\;\frac{\pi}{a\cdot\text{sin}(\frac{\pi}a)},\;\;a\geq 2$

$\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}\ dx = \boxed{1}$

Riemann vs. Lebesgue June 26, 2007

Filed under: Analysis,Integrale,Tagebuch — abi007 @ 2:42 pm

ein uneigentliches Riemannintegral ist genau dann ein Lebesgueintegral, wenn es absolut konvergiert.

$\displaystyle f:\Omega\rightarrow\mathbb{R},\int_{\Omega}{f(x)}dx<\infty.\leftrightarrow$ f ist Lebesgueintegrabel.

Es seien $\displaystyle f:[0,\infty[\rightarrow[0,\infty[$ und $g:[0,\infty[\rightarrow[0,\infty[$ nicht-negative Funktionen, welche über $[a, b]$ Riemann-integrierbar sind für alle $0\leq a<b[$ . Gilt $f(x)\leq g(x)$ für alle genügend großen x und konvergiert das uneigentliche Riemann-Integral $\displaystyle \int_0^{\infty}g(x)dx$ , so konvergiert auch $\displaystyle \int_0^{\infty}f(x)dx$

FourierTransformation:

$\displaystyle \int_0^{\infty}\frac{sin(x)}{x}dx=\frac{1}{2}\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin(x)}{x}dx$
$\displaystyle =\frac{1}{2}(\sqrt{2\pi}\cdot\frac{1}{\sqrt{2\pi}})\cdot\int_{-\infty}^{\infty}\frac{sin(x)}{x}\cdot e^{-i\cdot x \cdot 0}dx$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot 1_{([-1,1])}(0)$
$\displaystyle =\frac{1}{2}\sqrt{2\pi}\cdot\sqrt{\frac{\pi}{2}}\cdot 1$
$\displaystyle =\frac{\pi}{2}$

http://fizban.math.uni-hannover.de/~koeditz/Funk1/Funk1_S9.pdf

(seite 74.)