Archive for the ‘Analysis’ Category

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Satz über implizite Funktion

May 19, 2009

Problem:
Gegeben sei eine implizite Funktion f(x,y)=0 und ein Punkt p so dass f(p)=0.
Man möchte die Ableitung \frac{dy}{dx} an der Stelle p berechnen.
Lösungsansatz:
Es gilt: \frac{dy}{dx}(p)=-\frac{f_x(p)}{f_y(p)}

Satz über inverse Funktion
Problemstellung:
Gegeben sei eine Funktion
f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n
und ein Punkt im Urbild
p=(x_1, x_2, ..., x_n)
Die Frage ist, ob f in einer Umgebung von p invertierbar ist.
Wenn es der Fall ist, so soll die Ableitung der inversen Funktion bestimmt werden.
Lösungsansatz:
Schritt 1:
f'(x_1,x_2,...,x_n) = \begin{bmatrix} f'_{1,x_1} & \cdots & f'_{1,x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f'_{n,x_1} & \cdots & f'_{n, x_n}\end{bmatrix} berechnen. Wenn f in der Umgebung invertierbar ist, dann soll f' invertierbar sein.
Ist sie invertierbar, so
Schritt 2:
f^{-1}(\nu)=[f']^{-1}, mit \nu :=f(p) aus der Niveaumenge.

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Wolstenholme

December 28, 2008

Wilson: \displaystyle p\in\mathbb{P} \Leftrightarrow (p-1)!\equiv -1\pmod{p}\Rightarrow\forall p\in\mathbb{P},n\in\mathbb{N}:
\displaystyle {{np-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p}

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p>2 diese Kongruenz gilt:

\displaystyle{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^2}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p>3 die folgende Kongruenz gilt:

\displaystyle{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}

Satz von Wolstenhome.
Für 5\leq p\in\mathbb{P} gilt
\displaystyle \frac{a}{b}=1+\frac12+\frac13+\frac14+...+\frac{1}{p-1} \Rightarrow a|p^2

Der Satz ist äquivalent dazu:
\displaystyle \frac{a}{b}= 1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots+\frac1{(p-1)^2} \Rightarrow a|p

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trig

November 12, 2008

\displaystyle\frac 1{\sin z}=\frac 1{\tan \frac{z}{2}}-\frac 1{\tan z}
\displaystyle \arcsin ({\cos x})+\arccos ({\cos x}) =\frac{\pi}{2}

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schön

October 30, 2008

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom nk\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}=\frac{1}{n+1}

Beweis:

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom nk\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}

\displaystyle=\int_{-1}^0 \sum_{k=0}^{n} \binom nk x^k dx

\displaystyle=\int_{-1}^0 (1+x)^n

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sin, cos, tan, sec, csc, ct ……

March 22, 2008

\displaystyle\sin\,(\pi\,x)\;=\;(\pi\,x)\prod_{k=1}^\infty\;\left(1-\dfrac{x^2}{k^2}\right)

http://www.mathlinks.ro/weblog.php?w=993 

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glm. stetige Funktion ist höchstens linear

February 8, 2008

Sei \displaystyle f:[a,\infty)\to\mathbb{R} glm. stetig,

\displaystyle\Rightarrow \exists \delta>0: d(x,y)<\delta \Rightarrow d(f(x),f(y))<1

\displaystyle n:=min\{n':x\leq (n'+1)\cdot\delta\}

\displaystyle f(x)-f(a)=f(x)-f(a+n\delta)+\sum_{i=1}^n (f(a+i\delta)-f(a+(i-1)\delta))

\displaystyle\Leftrightarrow f(x)=f(x)-f(a+n\delta)+\sum_{i=1}^n (f(a+i\delta)-f(a+(i-1)\delta))+f(a)

\displaystyle\Leftrightarrow |f(x)|=|f(x)-f(a+n\delta)|+\sum_{i=1}^n |(f(a+i\delta)-f(a+(i-1)\delta))|+|f(a)|

\displaystyle \leq 1 + n\cdot 1 +|f(a)|

\displaystyle \frac{|f(x)|}{x}\leq\frac{1+n+|f(a)|}{n\delta}=\frac{1}{n\delta}+\frac{1}{\delta}+\frac{|f(a)|}{n\delta}\to \frac{1}{\delta}

\displaystyle |f(x) |\leq \frac{1}{\delta}\cdot x

\Box

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Stetigkeit

December 29, 2007

Kategorientheorie: Objekte, Morphismus:

Lineare Algebra: Vektorräume, lineare Abbildungen

Gruppentheorie: Gruppen, Homomorphismen

Mengenlehre: Mengen, Abbildungen

Topologie: topologische Räume, stetige Abbildungen


Lemma: Let f be a function mapping \mathbb{R} into itself. Then f is coninuous if and only if for each a\in\mathbb{R} and each open set U containing f(a), there exists an open set V containing a such that f(V)\subset U.f\in C^0(\mathbb{R})

\Leftrightarrow \forall a\in\mathbb{R},(f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon),\varepsilon >0\

\exists \delta >0: \forall x\in(a-\delta,a+\delta):f(x)\in (f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)

\Leftrightarrow \forall a\in\mathbb{R},f(a)\in U, U\text{ offen }\exists V\text{ offen }, a\in V: f(V)\subset U

proof:

\boxed{\Rightarrow}

a\in\mathbb{R},f(a)\in U, U\text{ offen}\Rightarrow \exists c,d\in \mathbb{R}: f(a)\in (c,d)\subset U.

\varepsilon:= \min\{d-f(a),f(a)-c\}\Rightarrow (f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)\subset U

\xrightarrow{f\in C^0(\mathbb{R})}\exists \delta >0: \forall x\in(a-\delta,a+\delta):f(x)\in (f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)

\boxed{\Leftarrow}

\forall a\in\mathbb{R}, f(a)\in U, U\text{ offen }\exists V\text{ offen }, a\in V: f(V)\subset U

a\in\mathbb{R},\varepsilon\in\mathbb{R}^{+}, U:=(f(a)-\varepsilon, f(a)+\varepsilon)\Rightarrow f(a)\in U \text{ offen}.

\Rightarrow \exists V\text{ offen}, a\in V: f(V)\subset U

a\in V\text{ offen}\Rightarrow\exists c,d\in\mathbb{R}: a\in(c,d)\subset V.

\delta:=\min\{d-a,a-c\}: (a-\delta, a+\delta)\subset V

\Rightarrow\forall x\in (a-\delta, a+\delta):f(x)\in f(V)\subset U\Rightarrow f\in C^0(\mathbb{R})

\Box

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cf

September 13, 2007

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Zeta

September 8, 2007

\displaystyle\zeta(n)=\sum_{k=1}^{\infty}\frac1{k^n}
\displaystyle\zeta(s) = \prod_{p\ \mathrm{prim}}\frac1{1-1/p^s}=\frac1{(1-1/2^s)(1-1/3^s)(1-1/5^s)\cdots}.
\displaystyle \zeta_K(s)=\sum_{I\subset\mathcal{O}_K} (N^K_{\mathbb{Q}}(I))^{-s}= \prod_{\mathfrak{p}}\frac{1}{1-(N^K_{\mathbb{Q}}(\mathfrak{p}))^{-s}}

\displaystyle\frac{1}{\zeta(s)}=\sum_{n=1}^{\infty} \frac{\mu(n)}{n^s}

\displaystyle \zeta(2)=\frac{\pi^2}6

http://www.mathlinks.ro/viewtopic.php?t=159424&start=20

http://www.secamlocal.ex.ac.uk/people/staff/rjchapma/etc/zeta2.pdf

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\displaystyle\gamma:=\lim_{n\to\infty} \left(H_n-\ln n\right)= \lim_{n\rightarrow \infty}\; \sum_{i=1}^n \left[\frac{1}{i} - \ln \left( 1 + \frac{1}{i} \right) \right]

\displaystyle\gamma= -\int\limits_0^1 \ln(-\ln x)\, \mathrm{d}x

\displaystyle\gamma = -\int\limits_0^\infty e^{-x}\ln x\, \mathrm{d}x

\displaystyle\gamma = -\int\limits_0^\infty (\frac1{1-e^{-x}}-\frac1x)e^{-x} \mathrm{d}x

\displaystyle\gamma = -\int\limits_0^\infty \frac1x(\frac1{1+x}-e^{-x}) \mathrm{d}x

\displaystyle \gamma\;\;=\;\;\int_{0}^{1}\;\;\frac{1}{x+1}\cdot\left(\sum_{k=1}^{\infty}\;x^{2^{k}-1}\right)\;\textbf dx

\displaystyle \gamma\;\;=\;\; \int_{0}^{1}\;\;\frac{x+2}{x^{2}+x+1}\cdot\left(\sum_{k=1}^{\infty}\;x^{3^{k}-1}\right)\;\textbf dx

————————————————————————————–

\displaystyle \gamma = - \Gamma'(1)

\displaystyle \Gamma(z) =\lim_{n \to \infty} \frac{n! \; n^z}{z \; (z+1)\cdots(z+n)}

\displaystyle\Gamma(z)=\frac{e^{-\gamma z}}{z}\prod_{n=1}^{\infty}(1 + \frac{z}{n})^{-1}e^{\frac{z}{n}}

\displaystyle \Gamma(x)=\int_0^\infty t^{x-1}e^{-t}dt

\displaystyle =[-t^{x-1}e^{-t}]_0^\infty+\int_0^\infty(x-1)t^{x-2}e^{-t}dt

\displaystyle =(x-1)\int_0^\infty t^{x-2}e^{-t}dt

\displaystyle =(x-1)\Gamma(x-1).

\displaystyle\Gamma \left( x \right)\Gamma \left( {1 - x} \right) = \pi \csc \pi x

\displaystyle\int_{0}^{\infty} \frac{x^n}{e^x-1}=\zeta(n+1)\Gamma(n+1)
http://en.wikipedia.org/wiki/Planck_law#Appendix

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\displaystyle\int_0^{\frac{1}{2}} \; \;\frac{{\tan ^{ - 1} \,x}}{x}\;\;{\mathbf{d}}x = \sum\limits_{n = 0}^{ + \infty } {\frac{{( - 1)^n }}{{(2n + 1)^2 \cdot2^{2n + 1} }}}

\displaystyle{\rm K} = \beta (2) = \sum\limits_{n = 0}^\infty {\frac{{( - 1)^n }}{{(2n + 1)^2 }}} = \frac{1}{{1^2 }} - \frac{1}{{3^2 }} + \frac{1}{{5^2 }} - \frac{1}{{7^2 }} + \cdots

\displaystyle = - \int_0^1 {\frac{{\ln (t)}}{{1 + t^2 }}} {\text{ d}}t

\displaystyle = \int_0^1 {\int_0^1 {\frac{1}{{1 + x^2 y^2 }}} } dxdy = \frac{1}{2}\int_0^1 {\text{K}} (x)\,dx = \int_0^1 {\frac{{\tan ^{ - 1} x}}{x}} dx

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Integrale

September 7, 2007

\displaystyle\int_{0}^{1}t^{a}\ dt\;=\;\boxed{\frac{1}{a+1}}

\displaystyle\int_0^{\infty}e^{-ta}\,dt\;=\;\boxed{\frac1a}

\displaystyle\int_0^{\infty}\frac1{1+t^a} \;dt\;=\;\boxed{\frac{\pi}a\cdot\text{csc}(\frac{\pi}a)}\;=\;\frac{\pi}{a\cdot\text{sin}(\frac{\pi}a)},\;\;a\geq 2

\displaystyle\int_{-\infty}^\infty e^{-\pi x^2}\ dx = \boxed{1}

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