0,1,2,3,…

IN:={Ø,{Ø},{Ø,{Ø}},{Ø,{Ø},{Ø,{Ø}}},…}

Matrizen September 17, 2007

Filed under: Lineare Algebra — abi007 @ 9:53 am

Hankel-Matrix

\displaystyle\begin{bmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \\ \end{bmatrix}

Hilbert-Matrix

\displaystyle H_n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \cdots & \frac{1}{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{bmatrix}

H_n ist positiv definit:

Beweis:

\displaystyle a_{ij}=\int_0^1f_i(x)f_j(x)dx, f_i(x)=x^{i-1}

\displaystyle \forall Y=(y_1,...,y_n)^T:Y^TAY=\int_0^1(\sum_{k=1}^ny_kf_k(x)dx)^2>0

\displaystyle Y^TAY=0 \Leftrightarrow \sum_{k=1}^ny_kf_k=0 \Rightarrow Y=0

Circulant-Matrix:

\displaystyle C= \begin{bmatrix} c_0 & c_{n-1} & \dots & c_{2} & c_{1} \\ c_{1} & c_0 & c_{n-1} & & c_{2} \\ \vdots & c_{1}& c_0 & \ddots & \vdots \\ c_{n-2} & & \ddots & \ddots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{n-2} & \dots & c_{1} & c_0 \\ \end{bmatrix}

Toeplitz-Matrix

\displaystyle \begin{bmatrix} a & b & c & d & k \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ j & h & g & f & a \end{bmatrix}

http://www-ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf

positiv definite Matrix:

\displaystyle v^*Av > 0 \quad \forall v \neq 0

  1. Diagonalelemente sind ausschließlich positiv.
  2. Eigenwerte sind ausschließlich positiv.
  3. A ist invertierbar,
  4. A^{-1} ist positiv definit.
 

Dimension July 12, 2007

Filed under: Lineare Algebra — abi007 @ 12:21 pm

\displaystyle \phi\in\text{Hom}(V,W)\Rightarrow\boxed{\text{dim}V = \text{dim}(\text{ker}\phi) + \text{dim}(\text{im}\phi)}.

\displaystyle A,B\leq V \Rightarrow\boxed{\text{dim} A + \text{dim} B=\text{dim} A\cap B + \text{dim}(A+B)}

\displaystyle \text{dim} A\oplus B=\text{dim}A+\text{dim}B

 

Matrizen July 5, 2007

Filed under: Lineare Algebra — abi007 @ 11:19 am

Formale Definition:

A:\left\{\begin{matrix}\{1,\ldots,m\}\times\{1,\dots,n\}&\to&\Bbb K\\ (i,j)&\mapsto&A(i,j)\end{matrix}\right.

  • Eigenvektor x, Eigenwert \lambda:

sei f\in\text{Hom}_K(V), x\in V\setminus\left\{0\right\}

\Leftrightarrow f(x)=\lambda x

  • Eigenraum:

f(ax)=af(x)=a\lambda x=\lambda ax, f(x+y)=\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y=f(x)+f(y)

\Rightarrow \text{Eig}_{f}(\lambda)=:\left\{x_{\lambda}\right\}\leq V

sei x\in \text{Eig}_{f}(\lambda)

\Leftrightarrow f(x)=\lambda \text{id}_V(x)

\Leftrightarrow f(x)-\lambda \text{id}_V(x)=0

\Leftrightarrow (f-\lambda \text{id}_V)(x)=0

\Leftrightarrow x\in \text{Kern}(f-\lambda \text{id}_V)

\lambda_1\neq \lambda_2 \Rightarrow x_{\lambda_1}\neq x_{\lambda_2}

  • Eigenwerte bestimmen:

\lambda\in K ist Eigenwert

\Leftrightarrow \exists x\in V\left\{0\right\}: f(x)=\lambda x

\Leftrightarrow \text{Eig}_{f}(\lambda)=\text{Kern}(f-\lambda id_V)\neq \left\{0\right\}

\Leftrightarrow f-\lambda\cdot id_V ist nicht injektiv

\Leftrightarrow \text{det}(f-\lambda\cdot id_V)=\text{det}(A-\lambda\cdot E_n)=0

  • Für einen beliebigen Eigenvektor v zu einem Eigenwert \lambda gilt:
      f^2(v)=f(\lambda v)=\lambda f(v) =\lambda ^2 v=id(v)=v
      \Leftrightarrow \lambda =\pm 1
  • Vielfachheit
  • d_{\lambda} =geometrische Vielfachheit von \lambda:

=\text{dim}(\text{Eig}_{f}(\lambda))

= Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren.

  • m_{\lambda}algebraische Vielfachheit von \lambda:

= Vielfachheit der Nullstellen vom charakterischen Polynom.

=Anzahl des Auftauchens des Eigenwertes

d_{\lambda}\leq m_{\lambda}

\displaystyle \sum_{\lambda} m_{\lambda} = n

\displaystyle d_{\lambda} = n - \text{Rang} (A - \lambda E)

  • allgemeine lineare Gruppe:

\boxed{\mathrm{GL}_{n}(R) : = (R^{n \times n})^{*}= \{A \in R^{n \times n}: \det(A) \in R^{*}\}}

  • Untergruppe der Diagonalmatrizen:
  • D = {\text diag} (d_1, d_2, \dots, d_n) = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_n \end{bmatrix}
  • \text{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \text{diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) = \text{diag} (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n)
  • \text{diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = \text{diag} (d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1})
  • \det ( \text{diag} (d_1, d_2, \dots, d_n) ) = d_1 \cdot d_2 \cdot \dots \cdot d_n
  • D bildet einen Unterring des Rings der quadratischen n x n – Matrizen.
    Eigenwert: Hautdiagonaleeinträge
    Eigenvektor: kanonische Einheitsvektoren
  • d_i\in\left\{-1,1\right\}\Rightarrow {\text diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)=I_n

spezielle lineare Gruppe:

\boxed{\mathrm{SL}_{n}(R) : = \{A \in \mathrm{GL}_{n}(R) : \det(A) = 1\}}

\boxed{\mathrm{GL}_{n}(R) / \mathrm{SL}_{n}(R) \cong R^{*}}

orthogonale Gruppe:

\text{O}(n,F)

Q \in \mathbb{R}^{n \times n} orthogonal

\Leftrightarrow Q\in \text{O}(n,F)

\Leftrightarrow Q^TQ=QQ^T=I
\Leftrightarrow Q^T=Q^{-1}
\Leftrightarrow \|Q\vec x\|_2 =\| \vec x\|_2
\Leftrightarrow \langle Q \vec x, Q \vec y \rangle = \langle \vec x, \vec y \rangle

\Rightarrow Q^T\in \text{O}(n,F)
\Rightarrow A,B\in \text{O}(n,F)\Leftrightarrow A\cdot B\in \text{O}(n,F)

spezielle orthogonale Gruppe:

\text{SO}(n,F)

Q\in\text{SO}(n,F)

\Leftrightarrow Q\in\text{O}(n,F)\quad\wedge\quad \text{det}(Q)=1\quad\wedge\quad Q^T \cdot Q = I_n

unitäre Gruppe:

\text{U}(n,F)

spezielle unitäre Gruppe:

\text{SU}(n,F)

 

Adjungierte Matrix June 24, 2007

Filed under: Lineare Algebra — abi007 @ 12:03 pm

Adjungierte Matrix (conjugate matrix)

\begin{matrix} A*=A^H & = & \bar{A}^T \\ \bar{z} & = & a-b\cdot i \\ \langle Av, w\rangle & = & \langle v, A^*\,w\rangle, v, w \in\Bbb K^n \\ \Bbb K =\Bbb R & \rightarrow & A^*=A^T \\\end{matrix}

A=A* \Longleftrightarrow selbstadjungiert, symmetrisch; hermitesch

\begin{matrix}\left(A + B\right)^* &=& A^* + B^*\\rA)^* &=& \overline{r}A^*\\\left(AB\right)^* &=& B^*A^*\\\left(A^*\right)^* &=& A\\\left(A^{-1}\right)^* &=& \left(A^*\right)^{-1}\\det(A^*) &=&\overline{\det(A)}\\ trace(A^*) &=& \overline{trace(A)}\end{matrix}

adj(A) = \tilde A^T = \begin{pmatrix} \tilde a_{11} & \tilde a_{21} & \cdots & \tilde a_{n1}\\ \tilde a_{12} & \tilde a_{22} & & \tilde a_{n2}\\ \vdots & & \ddots & \vdots\\ \tilde a_{1n} & \tilde a_{2n} & \cdots & \tilde a_{nn}\end{pmatrix}

 

 
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