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Gruppenordnung von ab und ba October 13, 2007

Filed under: Gruppen — abi007 @ 8:57 pm

$\boxed{ab, ba\in G \Rightarrow |\langle ab\rangle|=|\langle ba\rangle|}$

erster Beweis:

Lemma1:

$\boxed{|\langle g\rangle|=|\langle hgh^{-1}\rangle|}$

Beweis:

$hg^nh^{-1}\cdot (hgh^{-1})=hg^{n+1}h^{-1}$

$\Rightarrow (g^n=e \Rightarrow (hgh^{-1})^n=hg^nh^{-1}=e)$

$ab=b^{-1}\cdot (ba)\cdot b$

$ba=a^{-1}\cdot (ab)\cdot a$

nach Lemma1:

$|\langle ab\rangle|=|\langle ba\rangle|$

$\Box$

zweiter Beweis:

o.B.d.A sei $|\langle ab\rangle|=n$

$\Rightarrow (ba)^n=b\cdot (ab)^{n-1}\cdot a=b(ab)^{n-1}\cdot ab\cdot b^{-1}a^{-1}\cdot a$

$=bb^{-1}a^{-1}a=e$

$\Box$

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Gruppen August 28, 2007

Filed under: Gruppen — abi007 @ 8:49 am

- $|UV|\cdot|U\cap V|=|U|\cdot |V|$

$U\neq \{e\}\vee U\neq G\Rightarrow G=\langle G\setminus U\rangle$
Lagrange: $U\leq G \Rightarrow |U| \mid |G|$
G abelsch $d\mid |G| \Rightarrow \exists U\leq G:|U|=d$
Sylow: G endlich, $p^k \mid |G| \Rightarrow \exists U\leq G: |U|=p^k$

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Normalteiler July 3, 2007

Filed under: Gruppen — abi007 @ 8:38 am

$SL(n,R)\triangleleft GL(n,R)$

$f\in Hom(G,H), ker f:=\left\{a\in G: f(a)=1\right\}\Rightarrow$

$ker f\triangleleft G$

$N\triangleleft G \Rightarrow \exists \pi(ab)=\pi(a)\pi(b) : N=ker\;\pi$

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Kategorien June 25, 2007

Filed under: CAT,Gruppen — abi007 @ 11:21 am

$\forall f\in \text{Hom}(G,H)\exists^{=1} CD:$

$M,N\triangleright G, M\subseteq N \Longrightarrow \exists^{=1} CD:$

$N\triangleright G, U\leq G \Longrightarrow \exists^{=1} CD:$

$\forall f\in \text{R-Modul-Hom}(G,H)\exists^{=1} CD:$

$U\subseteq V; U,V\text{ Untermodule von }M\Longrightarrow \exists^{=1} CD:$

$U,V\text{ Untermodule von }M\Longrightarrow \exists^{=1} CD:$

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