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Polynome November 12, 2008

Filed under: Algebra — abi007 @ 2:58 pm
Tags: Algebra, Polynome

Eisenstein Kriterium

$f(x)$ irreduzibel in $R[X]\Leftrightarrow$ $f(x+\alpha)$ irreduzibel in $R[X], R$ IntRing.

$f(x)\in \mathbb{R}[X]$ faktoriell, $a_n\not\equiv 0 (mod\ p)$ : $f(x)$ irreduzibel in $\mathbb{F}_p[X]\Rightarrow f(x)$ irreduzibel in $\mathbb{Q}$

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Integritätsring March 3, 2008

Filed under: Algebra — abi007 @ 1:18 am

$R$ Integritätsring $\forall a,b\in R: ab=0\Rightarrow a=0\vee b=0$ .

$\displaystyle\boxed{|R| <\infty \Rightarrow R \text{ ist ein endlicher K\"orper.}}$

$\displaystyle R=\{0,1,a_1,...,a_n\}\newline \Rightarrow \forall a: a\cdot a_i \neq a\cdot a_j, i\neq j\newline Beweis: a\cdot a_i=a\cdot a_j\newline \Rightarrow a\cdot a_i-a\cdot a_j=0\newline \Rightarrow a\cdot (a_i-a_j)=0 (a\neq 0) \newline \Rightarrow a_i-a_j=0\newline \Rightarrow a_i=a_j$

$\Rightarrow \exists^{=1}a_k: a\cdot a_k=1 \Rightarrow a_k=a^{-1}$

http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_field

http://mathworld.wolfram.com/FiniteField.html

http://planetmath.org/encyclopedia/FiniteField.html

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algebraische und transzendente Elemente February 26, 2008

Filed under: Algebra — abi007 @ 2:47 pm

Definition:

$L/K$ sei eine Körpererweiterung.

$a\in L$ heißt algebraisch über $K$ , wenn

$\exists 0\neq f(x)\in K[x]: f(a)=0$

$a\in L$ heißt transzendent über $K$ , wenn

$\forall 0\neq f(x)\in K[x]: f(a)\neq 0$

Theorem:

Äquivalent sind:

$a$ ist algebraisch über $K$
die Körpererweiterung $K(a)/K$ hat endlichen Grad, d.h. $K(a)$ ist als $K$ -Vektorraum endlichdimensional.
$K[a] = K(a)$ .

Definition:(Minimalpolynom)
$m_{\alpha, K}$ ist Minimalpolynom von $\alpha$ über $K$
$:\Leftrightarrow m_{\alpha, K}\in \{f(x): f(x)\in K[x], f(a)=0\}=:N,\newline \text{deg}(m_{\alpha, K})=\min\{\text{deg}{f(x)}:f(x)\in N\}$

Theorem:

Äquivalent sind:

(1) $K$ ist alg. abgeschlossen, d.h. jedes $f\in\ K[X]/K$ zerfällt vollständig in Linearfaktoren in $K[X]$ .
(2) Jedes $f\in K[X]/K$ hat eine Nullstelle in $K$ .
(3) Jede algebraische Erweiterung $L/K$ hat den Grad 1.
(4) Jede endliche Erweiterung $L/K$ hat den Grad 1.

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Galois Theorie Stichwort February 25, 2008

Filed under: Algebra — abi007 @ 6:08 am

Reid Miles – Galois Theory

Contents

1 The theory of equations

1.1 Primitive question
$f(x)=a_0x^n+a_1x^{n-1}+...+a_{a-1}x+a_n$
$f(\alpha)=0$ How to find all $\alpha$ s?
factoring: $\displaystyle f=a_0\prod_{i=1}^n(x-\alpha_i)$

1.2 Quadratic equationsdiscriminant of $f: \Delta(f)$

1.3 The remainder theorem $f(x)=(x-\alpha)g(x)+c$ Corollaries: …

1.4 Relation between coeffients and rootsThe k-th elementary symmetric function $\sigma_k$ of the $\alpha_i$ Corollaries: …Theorem: …Examples: …

1.5 Complex roots of 1 $x^n=1$ primitive n-th roots of 1

1.6 Cubic equations

1.7 Quartic equations

1.8 The quintic is insoluble

2 Rings and fields 18

2.1 Definitions and elementary properties

2.2 Factorisation in Z

2.3 Factorisation in k[x]Minimalpolynom: http://planetmath.org/encyclopedia/MinimalPolynomial.html

2.4 Factorisation in Z[x], Eisenstein’s criterionEisenstein’s criterion: $D$ Integritätsring, $f(x)=\sum_{i=0}^n a_ix^i\in D[x], P\subset^i D$ Primideal und $a_i\in P, \forall 0\leq i\leq n-1$ $a_n\notin P$ $a_0\notin P^2$ $\Rightarrow f(x)$ irreduzibel.

3 Basic properties of field extensions

3.1 Degree of extension
$\displaystyle[\mathbb{C} : \mathbb{R}] = 2$
$\displaystyle[\mathbb{R} : \mathbb{Q}] = \infty$ $\mathbb{R}/K$ algebraisch $\Rightarrow \displaystyle[\mathbb{R} : K] = \infty$
$\displaystyle[ \mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}(x^2)]=2$
$\displaystyle[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}((x+1)^2)]=2$
$\displaystyle[\mathbb{Q}(x):\mathbb{Q}(x^2)\cap\mathbb{Q}(x^2)]=\infty$ $\displaystyle[ \mathbb{Q}(\sqrt{3+\sqrt{8}}):\mathbb{Q}]=2$
Beweis: $\alpha:=\sqrt{3+\sqrt{8}}=1+\sqrt{2}, m_{\alpha,\mathbb{Q}}=x^2-2x-1$

3.2 Applications to ruler-and-compass constructions

3.3 Normal extensions (Quasi-Galois extension)Äquivalent sind:

L/K ist normal
Let $K^a$ be an algebraic closure of K containing L. Every embedding s of L in $K^a$ which restricts to the identity on K, satisfies s(L) = L. In other words, s is an automorphism of L over K.
Every irreducible polynomial in K[X] which has a root in L factors into linear factors in L[X].
Examples:
- ist normal
  - Beweis: $\mathbb{Q}(\sqrt{2})$ ist der Zerfällungkörper von $x^2-2$
- ist nicht normal
  - Beweis: $x^3-2$ hat Nullstelle in $\mathbb{Q}(\sqrt[3]{2})$ , aber nicht alle von ihnen. (z.B. 2)
Let L be an extension of a field K. Then:
- If the extension is normal and if E is a field such that L ? E ? K, then L is also a normal extension of E.
- If E and F are normal extensions of K contained in L, then the compositum EF and E n F are also normal extensions of K.

http://citeseer.ist.psu.edu/cache/papers/cs/18293/http:zSzzSzwww.illc.uva.nlzSzPublicationszSzResearchReportszSzPP-2000-14.pdf/bezhanishvili00all.pdf

http://abstractnonsense.wordpress.com/2007/02/09/galois-theory-normal-extensions/

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=6051

http://planetmath.org/?op=getobj&from=objects&id=8038

3.4 Application to finite fields

3.5 Separable extensions

4 Galois theory

4.1 Counting field homomorphisms

4.2 Fixed subfields, Galois extensions

4.3 The Galois correspondences and the Main Theorem

4.4 Soluble groups

4.5 Solving equations by radicals

5 Additional material

5.1 Substantial examples with complicated Gal(L=k)

5.2 The primitive element theorem

5.3 The regular element theorem

5.4 Artin{Schreier extensions

5.5 Algebraic closure

5.6 Transcendence degree

5.7 Rings of invariants and quotients in algebraic geometry

5.8 Thorough treatment of inseparability

5.9 AOB

5.10 The irreducibility of the cyclotomic equation

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ProSeminar Körpertheorie February 21, 2008

Filed under: Algebra — abi007 @ 5:49 pm

Definitionen:

http://math-www.uni-paderborn.de/~chris/Index30/V/par13.pdf

Hungerford – Algebra

http://www.mathematik.uni-karlsruhe.de/iag2/lehre/elemente2007w/seite/material/media/konstruierbarkeit.pdf

Mohr–Mascheroni theorem
The American Mathematical Monthly, Vol. 101, No. 8 (Oct., 1994), pp. 784-787

http://www.cs.cas.cz/portal/AlgoMath/Geometry/PlaneGeometry/GeometricConstructions/MohrMascheroniTheorem.htm

http://www-m10.ma.tum.de/twiki/pub/Lehre/ThemenListe/zirkel_allein_vortrag.pdf

http://perso.unifr.ch/norbert.hungerbuehler/Mohr/mohr.ps

On the Impossibility of Ruler-Only Constructions
V. J. Baston, F. A. Bostock
Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 110, No. 4 (Dec., 1990), pp. 1017-1025

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Gruppenordnung von ab und ba October 13, 2007

Filed under: Gruppen — abi007 @ 8:57 pm

$\boxed{ab, ba\in G \Rightarrow |\langle ab\rangle|=|\langle ba\rangle|}$

erster Beweis:

Lemma1:

$\boxed{|\langle g\rangle|=|\langle hgh^{-1}\rangle|}$

Beweis:

$hg^nh^{-1}\cdot (hgh^{-1})=hg^{n+1}h^{-1}$

$\Rightarrow (g^n=e \Rightarrow (hgh^{-1})^n=hg^nh^{-1}=e)$

$ab=b^{-1}\cdot (ba)\cdot b$

$ba=a^{-1}\cdot (ab)\cdot a$

nach Lemma1:

$|\langle ab\rangle|=|\langle ba\rangle|$

$\Box$

zweiter Beweis:

o.B.d.A sei $|\langle ab\rangle|=n$

$\Rightarrow (ba)^n=b\cdot (ab)^{n-1}\cdot a=b(ab)^{n-1}\cdot ab\cdot b^{-1}a^{-1}\cdot a$

$=bb^{-1}a^{-1}a=e$

$\Box$

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Matrizen September 17, 2007

Filed under: Lineare Algebra — abi007 @ 9:53 am

Hankel-Matrix

$\displaystyle\begin{bmatrix} a & b & c & d & e \\ b & c & d & e & f \\ c & d & e & f & g \\ d & e & f & g & h \\ e & f & g & h & i \\ \end{bmatrix}$

Hilbert-Matrix

$\displaystyle H_n = \begin{bmatrix} 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \cdots & \frac{1}{n} \\ \frac{1}{2} & \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \cdots & \frac{1}{n+1} \\ \frac{1}{3} & \frac{1}{4} & \frac{1}{5} & \cdots & \frac{1}{n+2} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \frac{1}{n} & \frac{1}{n+1} & \frac{1}{n+2} & \cdots & \frac{1}{2n-1} \end{bmatrix}$

$H_n$ ist positiv definit:

Beweis:

$\displaystyle a_{ij}=\int_0^1f_i(x)f_j(x)dx, f_i(x)=x^{i-1}$

$\displaystyle \forall Y=(y_1,...,y_n)^T:Y^TAY=\int_0^1(\sum_{k=1}^ny_kf_k(x)dx)^2>0$

$\displaystyle Y^TAY=0 \Leftrightarrow \sum_{k=1}^ny_kf_k=0 \Rightarrow Y=0$

Circulant-Matrix:

$\displaystyle C= \begin{bmatrix} c_0 & c_{n-1} & \dots & c_{2} & c_{1} \\ c_{1} & c_0 & c_{n-1} & & c_{2} \\ \vdots & c_{1}& c_0 & \ddots & \vdots \\ c_{n-2} & & \ddots & \ddots & c_{n-1} \\ c_{n-1} & c_{n-2} & \dots & c_{1} & c_0 \\ \end{bmatrix}$

Toeplitz-Matrix

$\displaystyle \begin{bmatrix} a & b & c & d & k \\ f & a & b & c & d \\ g & f & a & b & c \\ h & g & f & a & b \\ j & h & g & f & a \end{bmatrix}$

http://www-ee.stanford.edu/~gray/toeplitz.pdf

positiv definite Matrix:

$\displaystyle v^*Av > 0 \quad \forall v \neq 0$

Diagonalelemente sind ausschließlich positiv.
Eigenwerte sind ausschließlich positiv.
$A$ ist invertierbar,
$A^{-1}$ ist positiv definit.

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Gruppen August 28, 2007

Filed under: Gruppen — abi007 @ 8:49 am

- $|UV|\cdot|U\cap V|=|U|\cdot |V|$

$U\neq \{e\}\vee U\neq G\Rightarrow G=\langle G\setminus U\rangle$
Lagrange: $U\leq G \Rightarrow |U| \mid |G|$
G abelsch $d\mid |G| \Rightarrow \exists U\leq G:|U|=d$
Sylow: G endlich, $p^k \mid |G| \Rightarrow \exists U\leq G: |U|=p^k$

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Dimension July 12, 2007

Filed under: Lineare Algebra — abi007 @ 12:21 pm

$\displaystyle \phi\in\text{Hom}(V,W)\Rightarrow\boxed{\text{dim}V = \text{dim}(\text{ker}\phi) + \text{dim}(\text{im}\phi)}.$

$\displaystyle A,B\leq V \Rightarrow\boxed{\text{dim} A + \text{dim} B=\text{dim} A\cap B + \text{dim}(A+B)}$

$\displaystyle \text{dim} A\oplus B=\text{dim}A+\text{dim}B$

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Matrizen July 5, 2007

Filed under: Lineare Algebra — abi007 @ 11:19 am

Formale Definition:

$A:\left\{\begin{matrix}\{1,\ldots,m\}\times\{1,\dots,n\}&\to&\Bbb K\\ (i,j)&\mapsto&A(i,j)\end{matrix}\right.$

Eigenvektor x, Eigenwert $\lambda$ :

sei $f\in\text{Hom}_K(V), x\in V\setminus\left\{0\right\}$

$\Leftrightarrow f(x)=\lambda x$

Eigenraum:

$f(ax)=af(x)=a\lambda x=\lambda ax, f(x+y)=\lambda (x+y)=\lambda x+\lambda y=f(x)+f(y)$

$\Rightarrow \text{Eig}_{f}(\lambda)=:\left\{x_{\lambda}\right\}\leq V$

sei $x\in \text{Eig}_{f}(\lambda)$

$\Leftrightarrow f(x)=\lambda \text{id}_V(x)$

$\Leftrightarrow f(x)-\lambda \text{id}_V(x)=0$

$\Leftrightarrow (f-\lambda \text{id}_V)(x)=0$

$\Leftrightarrow x\in \text{Kern}(f-\lambda \text{id}_V)$

$\lambda_1\neq \lambda_2 \Rightarrow x_{\lambda_1}\neq x_{\lambda_2}$

Eigenwerte bestimmen:

$\lambda\in K$ ist Eigenwert

$\Leftrightarrow \exists x\in V\left\{0\right\}: f(x)=\lambda x$

$\Leftrightarrow \text{Eig}_{f}(\lambda)=\text{Kern}(f-\lambda id_V)\neq \left\{0\right\}$

$\Leftrightarrow f-\lambda\cdot id_V$ ist nicht injektiv

$\Leftrightarrow \text{det}(f-\lambda\cdot id_V)=\text{det}(A-\lambda\cdot E_n)=0$

Für einen beliebigen Eigenvektor v zu einem Eigenwert $\lambda$ gilt:
$f^2(v)=f(\lambda v)=\lambda f(v) =\lambda ^2 v=id(v)=v$
$\Leftrightarrow \lambda =\pm 1$

Vielfachheit

$d_{\lambda}$ =geometrische Vielfachheit von $\lambda$ :

$=\text{dim}(\text{Eig}_{f}(\lambda))$

= Anzahl der linear unabhängigen Eigenvektoren.

$m_{\lambda}$ algebraische Vielfachheit von $\lambda$ :

= Vielfachheit der Nullstellen vom charakterischen Polynom.

=Anzahl des Auftauchens des Eigenwertes

$d_{\lambda}\leq m_{\lambda}$

$\displaystyle \sum_{\lambda} m_{\lambda} = n$

$\displaystyle d_{\lambda} = n - \text{Rang} (A - \lambda E)$

allgemeine lineare Gruppe:

$\boxed{\mathrm{GL}_{n}(R) : = (R^{n \times n})^{*}= \{A \in R^{n \times n}: \det(A) \in R^{*}\}}$

Untergruppe der Diagonalmatrizen:

$D = {\text diag} (d_1, d_2, \dots, d_n) = \begin{bmatrix} d_1 & 0 & \cdots & 0 \\ 0 & d_2 & \ddots & \vdots \\ \vdots & \ddots & \ddots & 0 \\ 0 & \cdots & 0 & d_n \end{bmatrix}$

$\text{diag} (a_1, a_2, \dots, a_n) \cdot \text{diag} (b_1, b_2, \dots, b_n) = \text{diag} (a_1 \cdot b_1, a_2 \cdot b_2, \dots, a_n \cdot b_n)$

$\text{diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)^{-1} = \text{diag} (d_1^{-1}, d_2^{-1}, \dots, d_n^{-1})$

$\det ( \text{diag} (d_1, d_2, \dots, d_n) ) = d_1 \cdot d_2 \cdot \dots \cdot d_n$

D bildet einen Unterring des Rings der quadratischen n x n – Matrizen.
Eigenwert: Hautdiagonaleeinträge
Eigenvektor: kanonische Einheitsvektoren

$d_i\in\left\{-1,1\right\}\Rightarrow {\text diag} (d_1, d_2, \dots, d_n)=I_n$

spezielle lineare Gruppe:

$\boxed{\mathrm{SL}_{n}(R) : = \{A \in \mathrm{GL}_{n}(R) : \det(A) = 1\}}$

$\boxed{\mathrm{GL}_{n}(R) / \mathrm{SL}_{n}(R) \cong R^{*}}$

orthogonale Gruppe:

$\text{O}(n,F)$

$Q \in \mathbb{R}^{n \times n}$ orthogonal

$\Leftrightarrow Q\in \text{O}(n,F)$

$\Leftrightarrow Q^TQ=QQ^T=I$
$\Leftrightarrow Q^T=Q^{-1}$
$\Leftrightarrow \|Q\vec x\|_2 =\| \vec x\|_2$
$\Leftrightarrow \langle Q \vec x, Q \vec y \rangle = \langle \vec x, \vec y \rangle$

$\Rightarrow Q^T\in \text{O}(n,F)$
$\Rightarrow A,B\in \text{O}(n,F)\Leftrightarrow A\cdot B\in \text{O}(n,F)$