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Satz über implizite Funktion

May 19, 2009

Problem:
Gegeben sei eine implizite Funktion $f(x,y)=0$ und ein Punkt $p$ so dass $f(p)=0$ .
Man möchte die Ableitung $\frac{dy}{dx}$ an der Stelle $p$ berechnen.
Lösungsansatz:
Es gilt: $\frac{dy}{dx}(p)=-\frac{f_x(p)}{f_y(p)}$

Satz über inverse Funktion
Problemstellung:
Gegeben sei eine Funktion
$f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n$
und ein Punkt im Urbild
$p=(x_1, x_2, ..., x_n)$
Die Frage ist, ob $f$ in einer Umgebung von $p$ invertierbar ist.
Wenn es der Fall ist, so soll die Ableitung der inversen Funktion bestimmt werden.
Lösungsansatz:
Schritt 1:
$f'(x_1,x_2,...,x_n) = \begin{bmatrix} f'_{1,x_1} & \cdots & f'_{1,x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f'_{n,x_1} & \cdots & f'_{n, x_n}\end{bmatrix}$ berechnen. Wenn $f$ in der Umgebung invertierbar ist, dann soll $f'$ invertierbar sein.
Ist sie invertierbar, so
Schritt 2:
$f^{-1}(\nu)=[f']^{-1}$ , mit $\nu :=f(p)$ aus der Niveaumenge.