Mannigfaltigkeit (manifold)

Definition:
Der -dimensionale euklidische Raum mit der Standardskalarprodukt ist ein Hilbertraum.
 
Definition:

Ein topologischer Raum heißt n-dimensional lokal euklidisch, wenn jeder Punkt eine offene Umgebung besitzt, die zu einer offenen Teilmenge des euklidischen Raumes homöomorph ist.

Beispiele:

Die Sphäre ist lokal euklidisch mit Dimension .

b) Der projektive Raum ist lokal euklidisch mit Dimension .

c) Sind und lokal euklidisch mit Dimension bzw. , dann ist lokal

euklidisch (mit welcher Dimension?).

a) Die Sphäre ist lokal euklidisch mit Dimension .

b) Der projektive Raum ist lokal euklidisch mit Dimension .

c) Sind und lokal euklidisch mit Dimension bzw. , dann ist lokal euklidisch (mit welcher Dimension?).

 

Definition:

Ein Homöomorphismus heißt Karte oder lokales Koordinatensystem von um mit Kartengebiet . 

Definition:

Die Umkehrung wird lokale Parametrisierung von um genannt.

Definition:

Ist , so sagt man, und seien in zentriert.

Definition:
Basis einer Topologie
Ein System von Teilmengen eines topologischen Raumes heißt Basis der Topologie, wenn
a) jede Menge aus offen ist und
b) jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus darstellen lässt.

Definition:
Eine -dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis, der -dimensional lokal euklidisch ist.

Eigenschaften:

lokal wegzusammenhängend,

lokal kompakt,

lokal metrisierbar.