Archive for December 28th, 2008

h1

Wolstenholme

December 28, 2008

Wilson: \displaystyle p\in\mathbb{P} \Leftrightarrow (p-1)!\equiv -1\pmod{p}\Rightarrow\forall p\in\mathbb{P},n\in\mathbb{N}:
\displaystyle {{np-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p}

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p>2 diese Kongruenz gilt:

\displaystyle{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^2}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p>3 die folgende Kongruenz gilt:

\displaystyle{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}

Satz von Wolstenhome.
Für 5\leq p\in\mathbb{P} gilt
\displaystyle \frac{a}{b}=1+\frac12+\frac13+\frac14+...+\frac{1}{p-1} \Rightarrow a|p^2

Der Satz ist äquivalent dazu:
\displaystyle \frac{a}{b}= 1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots+\frac1{(p-1)^2} \Rightarrow a|p

Posted in Primzahlen, Reihen, Zahlentheorie | Leave a Comment »