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Satz über implizite Funktion

May 19, 2009

Problem:
Gegeben sei eine implizite Funktion f(x,y)=0 und ein Punkt p so dass f(p)=0.
Man möchte die Ableitung \frac{dy}{dx} an der Stelle p berechnen.
Lösungsansatz:
Es gilt: \frac{dy}{dx}(p)=-\frac{f_x(p)}{f_y(p)}

Satz über inverse Funktion
Problemstellung:
Gegeben sei eine Funktion
f:\mathbb R^n \to \mathbb R^n
und ein Punkt im Urbild
p=(x_1, x_2, ..., x_n)
Die Frage ist, ob f in einer Umgebung von p invertierbar ist.
Wenn es der Fall ist, so soll die Ableitung der inversen Funktion bestimmt werden.
Lösungsansatz:
Schritt 1:
f'(x_1,x_2,...,x_n) = \begin{bmatrix} f'_{1,x_1} & \cdots & f'_{1,x_n}\\ \vdots & \ddots & \vdots \\ f'_{n,x_1} & \cdots & f'_{n, x_n}\end{bmatrix} berechnen. Wenn f in der Umgebung invertierbar ist, dann soll f' invertierbar sein.
Ist sie invertierbar, so
Schritt 2:
f^{-1}(\nu)=[f']^{-1}, mit \nu :=f(p) aus der Niveaumenge.

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onion

May 18, 2009

 
↗做，噯做の亊 18:29:28
你老有才了 你可拉倒吧

姊：萬亽仰慕 14.06.2009 05:41:08
你老有样了

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Mannigfaltigkeit (manifold)

May 13, 2009

Definition:
Der n-dimensionale euklidische Raum \mathbb R^n mit der Standardskalarprodukt \langle u, v \rangle = u_1 v_1 + \cdots + u_n v_n ist ein Hilbertraum.
 
Definition:

Ein topologischer Raum X heißt n-dimensional lokal euklidisch, wenn jeder Punkt x\in X eine offene Umgebung U besitzt, die zu einer offenen Teilmenge V des euklidischen Raumes \mathbb R^n homöomorph ist.

lokal euklBeispiele:

Die Sphäre \mathbb S^n ist lokal euklidisch mit Dimension n.
b) Der projektive Raum P_n ist lokal euklidisch mit Dimension n.
c) Sind X und Y lokal euklidisch mit Dimension n bzw. m, dann ist X\times Y lokal
euklidisch (mit welcher Dimension?).

a) Die Sphäre \mathbb S^n ist lokal euklidisch mit Dimension n.

b) Der projektive Raum P_n ist lokal euklidisch mit Dimension n.

c) Sind X und Y lokal euklidisch mit Dimension n bzw. m, dann ist X\times Y lokal euklidisch (mit welcher Dimension?).

 

Definition:

Ein Homöomorphismus h:U\to V heißt Karte oder lokales Koordinatensystem von X um x mit Kartengebiet U. 

Definition:

Die Umkehrung h^{-1}:V\to U wird lokale Parametrisierung von X um x genannt.

Definition:

Ist h(x)=0, so sagt man, h und h^{-1} seien in x zentriert.

Definition:
Basis einer Topologie
Ein System B von Teilmengen eines topologischen Raumes X heißt Basis der Topologie, wenn
a) jede Menge aus B offen ist und
b) jede offene Menge des Raumes sich als Vereinigung von Mengen aus B darstellen lässt.

Definition:
Eine n-dimensionale Mannigfaltigkeit ist ein Hausdorffraum mit abzählbarer Basis, der n-dimensional lokal euklidisch ist.

Eigenschaften:

lokal wegzusammenhängend,

lokal kompakt,

lokal metrisierbar.

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Keyboardkauf

May 13, 2009

Das Leben ist langweilig – stellte ich fest, als ich plötzlich zwei Freundinnen gleichzeitig verlor.
Also begann ich, in Youtube zu leben.
Ronald Jenkees hat mich dazu motiviert, mit ein wenig Musik zu überleben.
Meine Geige und Keyboard sind bei meinen Eltern geblieben, also beschloß ich, ein neues Keyboard zu kaufen. Nach langer Recherche landete ich auf thomann.de und lernte das Casio CTK 496 kennen. Billig, so habe ich gleich ein Set bestellt. CTK496
111€, naja.
Nach der Bestellung hatte ich natürlich nichts anderes zu tun, als mich weiter darüber zu informieren, hauptsächlich bei ciao.de und amazon.com.
Doch genau bei amazon.com haben die Kommentare mich dazu gebracht, die Bestellung zu stornieren, ich habe mich für ein Anderes entschieden, Casio CTK 2000.
ctk 2000 für 179€.

Der Grund dazu ist, man hat sich über die Klavierstimme der CTK496 beschwert, das sei zu unecht. CTK2000 hat die sogenannte AHL,, damit soll man bessere Qualität für Sound haben.

Ich habe bei thomann angerufen, und die Stornierung lief ohne Problem.
Danach begann das Warten…

Sehr geehrter Kunde,

Sie hatten in unserem Kundencenter bei www.thomann.de
automatische EMail-Benachrichtigungen zu Ihrer Sendung
977429408599 vom 09.05.2009 eingerichtet.

Folgende Tracking-Informationen liegen uns derzeit vor:

10.05.09 00:00 Elektronische Sendungsdaten liegen vor (Elektronische Sendungsdaten liegen vor)
11.05.09 14:39 Einlieferungs-Paketzentrum (Die Sendung wurde im Einlieferungs-Paketzentrum bearbeitet.)
11.05.09 23:09 Zustell-Paketzentrum (Die Sendung wurde im Zustell-Paketzentrum bearbeitet.)

Heute soll es kommen. Die Vorlesung am Mittag habe ich nicht besucht, in Informatik am Nachmittag war ich doch… ich ging in der Pause direkt nach Hause, weil ich die technische Informatik einfach nicht mehr aushalten kann. Ich kam zu Hause an und fand – fast wie erwartet – einen orangen Zettel in meinem Briefkasten. Ich soll morgen ab 15.00 das Paket bei der Ausgabestelle abholen. Naja, da ich wenig zu tun habe und wirklich nicht gerne noch einen Tag warten möchte, ging ich zur Post und wollte mein Paket haben. Es sei nicht da und ich soll morgen kommen…
ok, dann eben morgen.

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useful identity

February 14, 2009

\frac {1}{ab} = \frac {1}{b - a} \left ( \frac1{a} - \frac1{b} \right )

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Wolstenholme

December 28, 2008

Wilson: \displaystyle p\in\mathbb{P} \Leftrightarrow (p-1)!\equiv -1\pmod{p}\Rightarrow\forall p\in\mathbb{P},n\in\mathbb{N}:
\displaystyle {{np-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p}

Charles Babbage bewies 1819, dass für jede Primzahl p>2 diese Kongruenz gilt:

\displaystyle{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^2}

Der Mathematiker Joseph Wolstenholme (1829-1891) bewies dann 1862, dass für jede Primzahl p>3 die folgende Kongruenz gilt:

\displaystyle{{2p-1}\choose{p-1}} \equiv 1 \pmod{p^3}

Satz von Wolstenhome.
Für 5\leq p\in\mathbb{P} gilt
\displaystyle \frac{a}{b}=1+\frac12+\frac13+\frac14+...+\frac{1}{p-1} \Rightarrow a|p^2

Der Satz ist äquivalent dazu:
\displaystyle \frac{a}{b}= 1+\frac1{2^2}+\frac1{3^2}+\frac1{4^2}+\ldots+\frac1{(p-1)^2} \Rightarrow a|p

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Polynome

November 12, 2008

Eisenstein Kriterium

f(x) irreduzibel in R[X]\Leftrightarrow f(x+\alpha) irreduzibel in R[X], R IntRing.

f(x)\in \mathbb{R}[X] faktoriell, a_n\not\equiv 0 (mod\ p): f(x) irreduzibel in \mathbb{F}_p[X]\Rightarrow f(x) irreduzibel in \mathbb{Q}

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trig

November 12, 2008

\displaystyle\frac 1{\sin z}=\frac 1{\tan \frac{z}{2}}-\frac 1{\tan z}
\displaystyle \arcsin ({\cos x})+\arccos ({\cos x}) =\frac{\pi}{2}

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schön

October 30, 2008

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom nk\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}=\frac{1}{n+1}

Beweis:

\displaystyle\sum_{k=0}^{n} \binom nk\frac{(-1)^{k+1}}{k+1}

\displaystyle=\int_{-1}^0 \sum_{k=0}^{n} \binom nk x^k dx

\displaystyle=\int_{-1}^0 (1+x)^n

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LaTex Vorlage

June 2, 2008

\documentclass{scrartcl}
\usepackage[T1]{fontenc}
\usepackage{lmodern}
\usepackage{graphicx}
\usepackage[applemac]{inputenc}
\usepackage{ngerman}
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\usepackage{amsmath, amssymb, amsfonts, amsthm}
\usepackage{hyperref}

\title{}

\author{Cong Lan}
\date{\today}

\begin{document}

\maketitle
\tableofcontents
\newpage
\section{Zetafunktion}
\[\zeta(s)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{n^s}\]
\end{document}

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